Решение задач Цели: вспомнить с учащимися сведения, необходимые при изучении геометрии в 9 классе; повторить некоторые свойства треугольников и четырехугольников; закрепить знания учащихся в ходе решения задач. Повторение ранее изученного материала. Сформулировать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. Определение средней линии треугольника и ее свойство. Теорема Пифагора и обратная ей теорема. Формула для вычисления площади треугольника. Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника. Определение трапеции, виды трапеций. Площадь параллелограмма, площадь трапеции. Повторение можно организовать в ходе решения следующих задач: 1. Докажите, что данные треугольники равны, если AD и A 1 D 1: а высоты; б медианы. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте, проведенной к основанию. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к его основанию, или на ее продолжении. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если две его медианы равны. Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то центр вписанной в него окружности лежит на одной из медиан этого треугольника, а центр описанной окружности — на той же медиане или ее продолжении. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны. Найдите длины отрезков, соединяющих середины сторон трапеции с равными диагоналями, если ее основания раны 7 см и 9 см, а высота равна 8 см. Вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, диагонали которого равны по 6 дм и пересекаются под углом 60°. Вычислите площадь четырехугольника ABCD. Домашнее задание: повторить материал пунктов 15; 17; 18; 19; 20; 30; 42; 43; 44; 45; 46; 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55. Равенство векторов Цели : ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов; научить учащихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному. Изучение нового материала лекция. Материал пунктов 76—78 рекомендуется изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных иллюстративных средств графопроектор, плакаты, таблицы, рисунки. Понятие векторных величин или коротко векторов. Примеры векторных величин, известных учащимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие рис. Обозначение вектора — двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: рис. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают: рис. Определение длины или модуля ненулевого вектора. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении из пп. Ввести понятие коллинеарных векторов рис. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение рис. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Определение равных векторов: если и , то. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» рис. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один рис. Закрепление изученного материала решение задач. Домашнее задание: изучить материал пунктов 76—78; ответить на вопросы 1—6, с. Урок 2 Сумма двух векторов. Анализ результатов самостоятельной работы. Изучение нового материала лекция. Использовать таблицы «Сложение векторов», «Законы сложения», плакаты, графопроектор и др. Понятие суммы двух векторов рис. Устно провести доказательство по рис. Записатьв тетрадях: 1 для любого вектора справедливо равенство ; 2 если А, В и С — произвольные точки, то правило треугольника. Рассмотреть законы сложения векторов. Выполнение практических заданий и упражнений. Начертите попарно неколлинеарные векторы. Доказательство , равенство верно. Упростите выражения: 1 ; 2. Решение Используем законы сложения векторов: 1 ; 2. Найдите вектор из условий: 1 ; 2. Решение Используем законы сложения векторов: 1 ; 2 ; или же , тогда. Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, если , где Р и х — произвольные точки плоскости. Доказательство ; , получим, что векторы и равны, а это значит, что и , тогда по признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм. Домашнее задание: изучить материал пунктов 79 и 80; ответить на вопросы 7—10, с. Урок 3 Сумма нескольких векторов Цели : ввести понятие суммы трех и более векторов; научить строить сумму двух и нескольких векторов, используя правило многоугольника; учить решать задачи. Ответить на вопросы 7—10, с. Устно решить задачи: 1 Найдите вектор из условия: а ; б. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. В чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов? Записать в тетради правило многоугольника: если A 1, A 2,.. При сложении нескольких векторов сумма данных векторов может быть равна нулевому вектору, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора. Решение Найдем сумму векторов и по правилу параллелограмма: ; найдем длину вектора. Самостоятельная работа обучающего характера. Начертите четыре попарно неколлинеарных вектора. Начертите пять попарно неколлинеарных векторов. Урок 4 Вычитание векторов Цели : ввести понятие разности двух векторов; научить строить разность двух данных векторов двумя способами; учить решению задач. Анализ результатов самостоятельной работы. Проанализировать характерные ошибки, допущенные в конт-рольной работе. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. Предложить учащимся самим «придумать» определение разности двух векторов. Определение разности двух векторов формулирует учитель :. Рассмотреть задачу о построении разности двух векторов рис. Введение понятия вектора, противоположного данному рис. Обозначение: вектор, противоположный вектору , обозначается так: —. Доказательство теоремы о разности векторов: для любых векторов справедливо равенство. Решение задачи о построении разности векторов другим способом рис. Решение задач и упражнений. Решение 1 2 3 Ответ: 6. Доказательство Так как ABCD — параллелограмм, то Но поэтому откуда IV. Вариант I Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC. Вариант II Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ. Вариант III для более подготовленных учащихся Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BC. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76—82; вопросы 12, 13, с. Урок 5 Произведение вектора на число Цели : ввести понятие умножения вектора на число; рассмотреть основные свойства умножения вектора на число. Изучение нового материала лекция. Целесообразно в начале лекции привести пример, подводящий к определению произведения вектора на число, в частности такой: Автомобиль движется прямолинейно со скоростью. Его обгоняет второй автомобиль, двигающийся со скоростью, вдвое большей. Навстречу им движется третий автомобиль, у которого величина скорости такая же, как у второго автомобиля. Как выразить скорости второго и третьего автомобилей через скорость первого автомобиля и как изобразить с помощью векторов эти скорости? Естественно считать, что скорость второго автомобиля равна 2 произведению скорости первого автомобиля на число 2 , а скорость третьего автомобиля равна —2 произведению скорости на число —2. Определение произведения вектора на число, его обозначение: рис. Записать в тетрадях: 1 произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор; 2 для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарны. Основные свойства умножения вектора на число: Для любых чисел k, l и любых векторов справедливы равенства: 1°. Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Решение Дано: а в 3. Домашнее задание: изучить материал пункта 83; ответить на вопросы 14—17, с. Урок 6 Решение задач. Произведение вектора на число Цели : закрепить изученный материал в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся. По заранее заготовленным чертежам на доске устно решить задачи: 1. На рисунке 1 ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы и векторы: а б Рис. Решение Из треугольника ECD рис. Четырехугольник KMNP — параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и. Вариант III для более подготовленных учащихся 1. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76—83; ответить на вопросы 1—17, с. Урок 7 Применение векторов к решению задач Цели : на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи. Анализ результатов самостоятельной работы. Указать ошибки учащихся при выполнении работ. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. Ответить на вопросы на с. Вспомнить основные правила действий с векторами. Решить задачи на доске и в тетрадях: 1 Упростите выражение 2 Найдите вектор из условия 4. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Разобрать решение задачи 1 на с. Точки M и N — середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что Решение Пусть О — произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806. Решение Так как точка А 1 — середина стороны ВС, то. При наличии времени решить задачу 4. Точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q — середины отрезков KM и LN. Решение Пусть О — произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. Домашнее задание: повторить материал пунктов 76—84; разобрать решения задачи 2 из п. Урок 8 Средняя линия трапеции Цели : ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов; упражнять учащихся в решении задач. Проверка усвоения учащимися материала. Устно ответить на вопросы: 1 Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и. Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой. Решение Пусть K 1 — середина AB, K 2 — середина MN, K 3 — середина CD. Согласно задаче 2 из п. Из условия следует, что , поэтому. Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K 1, K 2 и K 3 лежат на одной прямой. Определение средней линии трапеции. Доказательство теоремы о средней линии трапеции проводит сам учитель. При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке. Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи: Дано: ABCD — трапеция, AD BC, M — середина стороны AB; N — середина стороны CD рис. Доказательство 1 Согласно рассмотренной в классе задаче 1. Закрепление изученного материала решение задач. Решение Пусть BK — перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см. Выразите вектор через векторы и , где A — произвольная точка. Выразите вектор через векторы и , где K — произвольная точка. Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18—20, с. МЕТОД КООРДИНАТ 10 часов Урок 1 Разложение вектора по двум данным неколлинеарным векторам Цели : доказать лемму о коллинеарных векторах и теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и закрепить их знание в ходе решения задач. Анализ результатов самостоятельной работы. Устно решить задачи по заранее заготовленному чертежу на доске: Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке О, а также отрезки MP и NQ, соединяющие соответственно середины сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить: 1 вектор через вектор ; 2 вектор через вектор ; 3 вектор через вектор ; 4 вектор через вектор. Вопрос учащимся: можно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число? Формулировка леммы о коллинеарных векторах. Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные в том числе и неколлинеарные ненулевые векторы. Решить задачу по рисунку параллелограмма ABCD на доске тем самым подвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два данных неколлинеарных вектора : Точки M и Q — середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Выразите: 1 вектор через векторы и ; 2 вектор через векторы и ; 3 вектор через векторы и ; 4 вектор через векторы и. Рассмотреть теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам, в ходе ее доказательства полезно обратить внимание на роль леммы в доказательстве. Закрепление изученного материала решение задач. Урок 2 Координаты вектора Цели : ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами. Напомнить задание прямоугольной системы координат и начертить ее. Ввести координатные векторы и рис. Нулевой вектор можно представить в виде ; его координаты равны нулю: 0; 0. Координаты равных векторов соответственно равны. Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно. Записать в тетрадях правила: и — данные векторы 1 ; 2 ; 3. Закрепление изученного материала решение задач. Решение Используем условие коллинеарности векторов:. Самостоятельная работа контролирующего характера. Домашнее здание: подготовиться к устному опросу по карточкам, повторить материал пунктов 76—87; ответить на вопросы 1—20, с. Урок 3 Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах Цели : рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между двумя точками. Анализ результатов контрольной работы. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся. Изучение нового материала лекция. Рассмотреть по учебнику рис. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат. Рассмотрим три вспомогательные задачи. Используя формулу из п. Вывод: каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Закрепление изученного материала решение задач. Урок 4 Простейшие задачи в координатах. Решение задач Цели : закрепить знания учащихся в ходе решения задач; учить решать задачи в координатах. Двое учащихся по карточкам работают у доски: Карточка 1 1 Вывести формулы координат середины отрезка. Карточка 2 1 Вывести формулу расстояния между двумя точками. С остальными учащимися проводится устная работа по решению задач: 1 Найдите координаты вектора , равного разности векторов и , если —5; 6 , 0; —4. Значит, точка М 3; —1. Значит, точка М 0; 5. Значит, диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам; по признаку параллелограмма MNPQ — параллелограмм. Урок 5 Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности Цели : познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности. Математический диктант 10—15 мин.
