Принцип построения кодов Хемминга. Значение кода Хемминга Код Хэмминга — систематический код, то есть состоящий из информационных и корректирующих символов, расположенных по строго определенной системе, имеющих одинаковую длину и всегда занимающих строго определенные места в кодовых комбинациях. Предложенные Хэммингом регулярные методы построения кодов, корректирующих ошибки, имеют фундаментальное значение. Они демонстрируют инженерам практическую возможность достижения пределов, на которую указывали законы теории информации. Эти коды нашли практическое применение при создании компьютерных систем. Работа Хэмминга привела к решению проблемы более плотной упаковки для конечных полей. Он ввел в научный обиход важнейшие понятия теории кодирования — расстояние Хэмминга между кодовыми комбинациями в векторном пространстве, определяемом для двоичных кодов как количество позиций этих комбинаций с различными символами, и границы Хэмминга для исправляющей способности блочных корректирующих кодов. Граница Хэмминга для двоичных кодов рассчитывается по следующей формуле: В этом выражении число ошибок e может быть исправлено корректирующим блочным кодом длиной N , имеющим М кодовых комбинаций C j N — биномиальный коэффициент. Работа Хэмминга сыграла ключевую роль в последующем развитии теории кодирования и стимулировала обширные исследования, выполненные в последующие годы. Коды Хэмминга позволяют не только обнаружить наличие ошибки, но и место ее нахождения и, следовательно, дают возможность ее исправить. Коды Хемминга являются самоконтролирующимися кодами, т. Для их построения достаточно приписать к каждому слову один добавочный контрольный двоичный разряд и выбрать цифру этого разряда так, чтобы общее количество единиц в изображении любого числа было, например, четным. Одиночная ошибка в каком-либо разряде передаваемого слова в том числе, может быть, и в контрольном разряде изменит четность общего количества единиц. Счетчики по модулю 2, подсчитывающие количество единиц, которые содержатся среди двоичных цифр числа, могут давать сигнал о наличии ошибок. При этом, разумеется, мы не получаем никаких указаний о том, в каком именно разряде произошла ошибка, и, следовательно, не имеем возможности исправить её. Остаются незамеченными также ошибки, возникающие одновременно в двух, в четырёх или вообще в четном количестве разрядов. Впрочем, двойные, а тем более четырёхкратные ошибки полагаются маловероятными. Коды, в которых возможно автоматическое исправление ошибок, называются самокорректирующимися. Для построения самокорректирующегося кода, рассчитанного на исправление одиночных ошибок, одного контрольного разряда недостаточно. Как видно из дальнейшего, количество контрольных разрядов k должно быть выбрано так, чтобы удовлетворялось неравенству или , где m - количество основных двоичных разрядов кодового слова. Присвоим каждому из разрядов свой номер - от 1 до m+k; запишем эти номера в двоичной системе счисления. Предположим далее, что все m+k разрядов кода разбиты на контрольные группы, которые частично перекрываются, причем так, что единицы в двоичном представлении номера разряда указывают на его принадлежность к определённым контрольным группам. Эти k разрядов мы и будем считать контрольными. Остальные m разрядов, каждый из которых принадлежит, по меньшей мере, к двум контрольным группам, будут информационными разрядами. В каждой из k контрольных групп будем иметь по одному контрольному разряду. В каждый из контрольных разрядов поместим такую цифру 0 или 1 , чтобы общее количество единиц в его контрольной группе было четным. Пусть исходное слово кодовое слово без контрольных разрядов - 0110101 2. Очевидно, что они частично перекрываются. Произведя в принятом коде проверку четности внутри контрольных групп, мы обнаружили бы, что количество единиц нечетно в 1-й,2-й и 4-й контрольных группах, и четно в 3-й контрольной группе. Это указывает, во-первых, на наличие ошибки, во-вторых, означает, что номер ошибочно принятого разряда в двоичном представлении содержит единицы на первом, втором и четвёртом местах и нуль - на третьем месте, т. Построенный код, разумеется, не рассчитан на возможность одновременной ошибки в двух разрядах. Например, предположим теперь, что при передаче данного кодового слова 10001100101 произошли ошибки в 3-м и 6-м разрядах, так, что принято кодовое слово 10101000101. Исправление кода по общему правилу не только не улучшило, но даже ухудшило бы дело. Можно построить и такой код, который обнаруживал бы двойные ошибки и исправлял одиночные. Для этого к самокорректирующемуся коду, рассчитанному на исправление одиночных ошибок, нужно приписать ещё один контрольный разряд разряд двойного контроля. Полное количество разрядов кода при этом будет m+k+1. Цифра в разряде двойного контроля устанавливается такой, чтобы общее количество единиц во всех m + k + 1 разрядах кода было четным. Этот разряд не включается в общую нумерацию и не входит ни в одну контрольную группу. В принятом коде в целом и по всем контрольным группам количество единиц четно. Если тройные ошибки и ошибки в большем количестве разрядов исключаются, то первый случай соответствует безошибочному приему кода. В принятом коде в целом количество единиц нечетно, но во всех контрольных группах количество единиц четно. Второй случай - ошибки только в разряде двойного контроля. В принятом коде в целом и в некоторых из контрольных групп количество единиц нечетно. Исправление двойных ошибок здесь, конечно, невозможно. Увеличивая дальше количество контрольных разрядов, можно было бы построить коды, рассчитанные на исправление двойных ошибок и обнаружение тройных и т. Однако методы построения этих кодов не вполне разработаны. Принцип построения кодов Хемминга. Построение кодов Хемминга базируется на принципе проверки начетность веса W числа единичных символов в информационной груп-пе кодового блока. Поясним идею проверки на четность на примере простейшего кор-ректирующего кода, который так и называется кодом с проверкой начетность или кодом с проверкой по паритету равенству. В таком коде к кодовым комбинациям безызбыточного первичногодвоичного k-разрядного кода добавляется один дополнительный разряд символ проверки на четность, называемый проверочным, или конт-рольным. Если число символов 1 исходной кодовой комбинации чет-ное, то в дополнительном разряде формируют контрольный символ 0, аесли число символов 1 нечетное, то в дополнительном разряде форми-руют символ 1. В результате общее число символов 1 в любой переда-ваемой кодовой комбинации всегда будет четным. Очевидно, что добавление дополнительного разряда увеличива-ет общее число возможных комбинаций вдвое по сравнению с числомкомбинаций исходного первичного кода, а условие четности разделяетвсе комбинации на разрешенные и неразрешенные. Код с проверкой начетность позволяет обнаруживать одиночную ошибку при приеме кодо-вой комбинации, так как такая ошибка нарушает условие четности, пе-реводя разрешенную комбинацию в запрещенную. Критерием правильности принятой комбинации является равенствонулю результата S суммирования по mod 2 всех n символов кода, вклю-чая проверочный символ r1. Простой код с проверкой на четностьможет использоваться только для обнаружения но не исправления од-нократных ошибок. Увеличивая число дополнительных проверочных разрядов и форми-руя по определенным правилам проверочные символы r, равные 0 или1, можно усилить корректирующие свойства кода так, чтобы он позво-лял не только обнаруживать, но и исправлять ошибки. На этом и осно-вано построение кодов Хемминга. Коды Хемминга позволяют исправлять одиночную ошибку, с помощьюнепосредственного описания. Так, для Международного телеграфного кода МТК-2 , имеющего5 информационных символов, потребуется использование коррек-тирующего кода 9,5 , являющегося усеченным от классического кодаХемминга 15,11 , так как число символов в этом коде уменьшается укорачивается на 6. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах.
